જો $(x, y, z) \ne (0, 0, 0)$ અને $(i + j + 3k)x + (3i - 3j + k)y + (-4i + 5j)z = \lambda (xi + yj + zk)$ હોય, તો $\lambda$ ની કિંમત શું હશે?

ધારો કે $A = 0$, $B = 9$, $C = -9$, અને $D = 1$ છે. $\alpha$ ની નીચેનામાંથી કઈ કિંમતો સમીકરણ $\left|\begin{array}{lll}(1+\alpha)^2 & (1+2 \alpha)^2 & (1+3 \alpha)^2 \\ (2+\alpha)^2 & (2+2 \alpha)^2 & (2+3 \alpha)^2 \\ (3+\alpha)^2 & (3+2 \alpha)^2 & (3+3 \alpha)^2\end{array}\right|=-648 \alpha$ નું સમાધાન કરે છે?

ધારો કે $x, y, z > 0$ એ $G.P.$ ના અનુક્રમે $2^{nd}, 3^{rd}, 4^{th}$ પદો છે,અને $\Delta = \begin{vmatrix} x^k & x^{k+1} & x^{k+2} \\ y^k & y^{k+1} & y^{k+2} \\ z^k & z^{k+1} & z^{k+2} \end{vmatrix} = (r-1)^2 \left(1 - \frac{1}{r^2}\right)$,જ્યાં $r$ એ સામાન્ય ગુણોત્તર છે. તો $k = \dots$

ધારો કે $\Delta = \left| \begin{array}{ccc} 1 & \omega & 2\omega^2 \\ 2 & 2\omega^2 & 4\omega^3 \\ 3 & 3\omega^3 & 6\omega^4 \end{array} \right|$ જ્યાં $\omega$ એ એકમનું ઘનમૂળ છે,તો

ધારો કે $M=\left\{A=\begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} : a, b, c, d \in \{\pm 3, \pm 2, \pm 1, 0\}\right\}$. $f: M \rightarrow \mathbb{Z}$ ને $f(A) = \det(A)$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $\mathbb{Z}$ એ તમામ પૂર્ણાંકોનો ગણ છે. તો $A \in M$ ની સંખ્યા શોધો જેથી $f(A) = 15$ થાય.

$x$ ના કયા ભિન્ન મૂલ્યો માટે શ્રેણિક $A=\begin{bmatrix} 1 & 1 & x \\ 1 & x & 1 \\ x & 1 & 1 \end{bmatrix}$ નો વ્યસ્ત અસ્તિત્વ ધરાવતો નથી,તે મૂલ્યોનો સરવાળો શોધો.