यदि $P(\frac{\pi}{6})$ अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ पर एक बिंदु है,$S$ और $S^{\prime}$ इसकी नाभियाँ हैं,और $SP + S^{\prime}P - 2|SP - S^{\prime}P| = 0$ है,तो उत्केंद्रता $e$ ज्ञात कीजिए।

सरल रेखा $x + y = \sqrt{2}p$ अतिपरवलय $4x^2 - 9y^2 = 36$ को स्पर्श करेगी,यदि

यदि $e_1$ और $e_2$ क्रमशः अतिपरवलय $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ और इसके संयुग्मी अतिपरवलय की उत्केंद्रताएँ हैं,तो रेखा $\frac{x}{2 e_1}+\frac{y}{2 e_2}=1$ मूल बिंदु पर केंद्र वाले वृत्त को स्पर्श करती है। इसकी त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $P$ अतिपरवलय $x^2 - y^2 = 4$ पर एक बिंदु है,जो $(0, -1)$ से न्यूनतम दूरी पर है,तो $x$-अक्ष से $P$ की दूरी क्या है?

एक अतिपरवलय (hyperbola),जिसकी अनुप्रस्थ अक्ष की लंबाई $2 \sin \theta$ है,दीर्घवृत्त $3 x^2 + 4 y^2 = 12$ के साथ सह-नाभीय (confocal) है। तो इसका समीकरण क्या है?

वक्र $9 b^2 x^2 - 4 a^2 y^2 = 36 a^2 b^2$ की एक स्पर्श रेखा प्रत्येक निर्देशांक अक्ष पर इकाई लंबाई के अंतःखंड बनाती है,तो बिंदु $(a, b)$ किस पर स्थित है?