જો $a + b + c = 0$ હોય,તો કયો સંબંધ સાચો છે?

ધારો કે $\vec{a} = 2\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 6\hat{i} + 3\hat{j} + 3\hat{k}$ છે. તો સદિશો $(2\vec{a} + 3\vec{b})$ અને $(\vec{a} - \vec{b})$ દ્વારા નિર્ધારિત પાસપાસેની બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણના ક્ષેત્રફળનો વર્ગ કેટલો થાય?

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો જેના વિકર્ણો સદિશો $\bar{a}=3 \hat{i}-\hat{j}-2 \hat{k}$ અને $\bar{b}=-\hat{i}+3 \hat{j}-3 \hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવ્યા છે.

$A (2,6,2), B (-4,0, \lambda), C (2,3,-1)$ અને $D (4,5,0)$,જ્યાં $|\lambda| \leq 5$,એ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ છે. જો તેનું ક્ષેત્રફળ $18$ ચોરસ એકમ હોય,તો $5-6 \lambda$ ની કિંમત $.........$ થાય.

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+2 \hat{j}+\lambda \hat{k}$,$\vec{b}=3 \hat{i}-5 \hat{j}-\lambda \hat{k}$,$\vec{a} \cdot \vec{c}=7$,$2 \vec{b} \cdot \vec{c}+43=0$,અને $\vec{a} \times \vec{c}=\vec{b} \times \vec{c}$ છે. તો $|\vec{a} \cdot \vec{b}|$ ની કિંમત શોધો.

જો $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $-\hat{i}+2 \hat{j}+\hat{k}$ એ સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના બે વિકર્ણો હોય, તો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં કેટલું થાય?