જો $a = 2i + 3j - 5k$,$b = mi + nj + 12k$ અને $a \times b = 0$ હોય,તો $(m, n) = $

જો રેખાઓ $L_1$ અને $L_2$ ના દિકગુણોત્તરો અનુક્રમે $2, -1, 1$ અને $3, -3, 4$ હોય,તો $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ હોય તેવી રેખાના દિકકોસાઇન શોધો.

ધારો કે $\vec{a}=2 \hat{i}+\alpha \hat{j}+\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+\hat{k}$,અને $\vec{c}=\beta \hat{j}-\hat{k}$,જ્યાં $\alpha$ અને $\beta$ પૂર્ણાંકો છે અને $\alpha \beta=-6$ છે. ધારો કે જે ક્રમયુક્ત જોડી $(\alpha, \beta)$ માટે વિકર્ણો $\vec{a}+\vec{b}$ અને $\vec{b}+\vec{c}$ ધરાવતા સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{\sqrt{21}}{2}$ હોય,તે $(\alpha_1, \beta_1)$ અને $(\alpha_2, \beta_2)$ છે. તો $\alpha_1^2+\beta_1^2-\alpha_2 \beta_2$ ની કિંમત શોધો.

$A(1, 1, 1)$,$B(1, 2, 3)$ અને $C(2, 3, 1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ શોધો.

જો $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + 3\hat{k}$ અને $\vec{b} = 2\hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય,તો $\sin \theta$ ની કિંમત શોધો.

જો સદિશ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ નો સદિશ $2 \hat{i}+4 \hat{j}-5 \hat{k}$ અને $\lambda \hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k}$ ના સરવાળાની દિશામાં એકમ સદિશ સાથેના સદિશ ગુણાકારનું માન $\sqrt{2}$ હોય,તો ' $\lambda$ ' નું મૂલ્ય શોધો.