જો $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{bmatrix}$ હોય, તો $A^3 - 4A^2 - 6A$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A$ અને $B$ કોઈપણ બે $n \times n$ શ્રેણિકો છે જેથી નીચેની શરતો સંતોષાય છે: $A B=B A$ અને એવા ધન પૂર્ણાંકો $k$ અને $l$ અસ્તિત્વ ધરાવે છે કે જેથી $A^k=I$ (એકમ શ્રેણિક) અને $B^l=0$ (શૂન્ય શ્રેણિક) થાય. તો,

મેટ્રિક્સ $A = \begin{bmatrix} 0 & 2x & 2x \\ 2y & y & -y \\ 1 & -1 & 1 \end{bmatrix}$ જ્યાં $x, y \in \mathbb{R}$ અને $x \neq y$,જેના માટે $A^T A = 3I_3$ હોય,તેવા મેટ્રિક્સની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $M=\begin{bmatrix} \sin^4 \theta & -1-\sin^2 \theta \\ 1+\cos^2 \theta & \cos^4 \theta \end{bmatrix} = \alpha I + \beta M^{-1}$,જ્યાં $\alpha = \alpha(\theta)$ અને $\beta = \beta(\theta)$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે,અને $I$ એ $2 \times 2$ એકમ શ્રેણિક છે. જો $\alpha^*$ એ ગણ $\{\alpha(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય અને $\beta^*$ એ ગણ $\{\beta(\theta) : \theta \in [0, 2\pi)\}$ ની ન્યૂનતમ કિંમત હોય,તો $\alpha^* + \beta^*$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $A = \begin{bmatrix} p & 13 \\ -13 & p \end{bmatrix}$ અને $B = \begin{bmatrix} 4q & 85 \\ -2 & 1 \end{bmatrix}$ જ્યાં $p, q \in N$. આપેલ છે કે $|A| = |B|$ અને $p, q \in [1, 1000]$. તો ક્રમયુક્ત જોડી $(p, q)$ ની કુલ સંખ્યા કેટલી છે?

જો $A$ એક ચોરસ શ્રેણિક હોય,જેથી $A^2=A$ થાય,તો $(I+A)^3$ ની કિંમત શું થાય?