यदि 2 operatorname{Tanh}^{-1} x = operatornam | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}ight)$.मान लीजिए $\operatorname{Tanh}^{-1} x = 	heta$, तो

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$\log (2+\sqrt{3})$

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(C) दिया गया है $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}ight)$.मान लीजिए $\operatorname{Tanh}^{-1} x = 	heta$, तो $x = 	anh 	heta$.अतः, $2	heta = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}ight)$, जिसका अर्थ है $\sinh(2	heta) = \frac{4}{3}$.सर्वसमिका $\sinh(2	heta) = \frac{2	anh 	heta}{1-	anh^2 	heta}$ का उपयोग करने पर, हमें मिलता है $\frac{2x}{1-x^2} = \frac{4}{3}$.$6x = 4 - 4x^2 \implies 4x^2 + 6x - 4 = 0 \implies 2x^2 + 3x - 2 = 0$.$x$ के लिए हल करने पर: $(2x-1)(x+2) = 0$. चूंकि $\operatorname{Tanh}^{-1} x$ के लिए $|x| अब, हमें $\operatorname{Cosh}^{-1}\left(\frac{1}{x}ight) = \operatorname{Cosh}^{-1}(2)$ ज्ञात करना है।सूत्र $\operatorname{Cosh}^{-1} y = \log(y + \sqrt{y^2-1})$ का उपयोग करने पर, हमें मिलता है $\operatorname{Cosh}^{-1}(2) = \log(2 + \sqrt{2^2-1}) = \log(2 + \sqrt{3})$.

यदि $2 \operatorname{Tanh}^{-1} x = \operatorname{Sinh}^{-1}\left(\frac{4}{3}\right)$ है, तो $\operatorname{Cosh}^{-1}\left(\frac{1}{x}\right) = $

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$\cos ^{-1}\left[\frac{1}{\sqrt{2}}\left(\cos \frac{9 \pi}{10}-\sin \frac{9 \pi}{10}\right)\right]$ का मुख्य मान ज्ञात कीजिए।

यदि $3 \sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)-4 \cos ^{-1}\left(\frac{1-x^2}{1+x^2}\right)+2 \tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)=\frac{\pi}{3}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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सिद्ध कीजिए कि $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$,जहाँ $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

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