सिद्ध कीजिए कि $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$,जहाँ $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

माना $x = \cos \theta$. तब $\theta = \cos ^{-1} x$.
दिए गए अंतराल $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ के लिए,$\cos \frac{\pi}{4} \leq \cos \theta \leq \cos 0$ है,जिसका अर्थ है $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$.
अतः,$0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
अब,व्यंजक में $x = \cos \theta$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sqrt{1-\cos ^{2} \theta})$
$= \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sin \theta)$
$= \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
चूँकि $0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$,इसलिए $\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$.
$\theta = \cos ^{-1} x$ वापस रखने पर,हमें $2 \cos ^{-1} x$ प्राप्त होता है।
अतः,$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = 2 \cos ^{-1} x$ सिद्ध होता है।