સાબિત કરો કે $\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}})=2 \cos ^{-1} x$,જ્યાં $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$.

ધારો કે $x = \cos \theta$. તેથી $\theta = \cos ^{-1} x$.
આપેલ અંતરાલ $\frac{1}{\sqrt{2}} \leq x \leq 1$ માટે,$\cos \frac{\pi}{4} \leq \cos \theta \leq \cos 0$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $0 \leq \theta \leq \frac{\pi}{4}$.
આમ,$0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$.
હવે,પદમાં $x = \cos \theta$ મૂકતા:
$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sqrt{1-\cos ^{2} \theta})$
$= \sin ^{-1}(2 \cos \theta \sin \theta)$
$= \sin ^{-1}(\sin 2 \theta)$
કારણ કે $0 \leq 2\theta \leq \frac{\pi}{2}$,તેથી $\sin ^{-1}(\sin 2 \theta) = 2 \theta$.
$\theta = \cos ^{-1} x$ પાછું મૂકતા,આપણને $2 \cos ^{-1} x$ મળે છે.
આમ,$\sin ^{-1}(2 x \sqrt{1-x^{2}}) = 2 \cos ^{-1} x$ સાબિત થાય છે.