यदि D subseteq R और f: D rightarrow R को f(x) | vedclass

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Question

(C) माना $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ प्राप्त होता है।$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.$(y-

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$(-\infty, 0)$

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(C) माना $y = \frac{x^2+x+a}{x^2-x+a}$.पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें $y(x^2-x+a) = x^2+x+a$ प्राप्त होता है।$yx^2 - yx + ay = x^2 + x + a$.$(y-1)x^2 - (y+1)x + a(y-1) = 0$.$f$ के आच्छादक होने के लिए, $x$ में इस द्विघात समीकरण के प्रत्येक $y$ के लिए वास्तविक मूल होने चाहिए।अतः, विविक्तकर (discriminant) $D \geq 0$.$D = (-(y+1))^2 - 4(y-1)(a(y-1)) \geq 0$.$(y+1)^2 - 4a(y-1)^2 \geq 0$.$y^2 + 2y + 1 - 4a(y^2 - 2y + 1) \geq 0$.$(1-4a)y^2 + (2+8a)y + (1-4a) \geq 0$.इसके प्रत्येक $y$ के लिए सत्य होने हेतु, $y^2$ का गुणांक धनात्मक होना चाहिए, अर्थात $1-4a > 0 \Rightarrow a साथ ही, $y$ में इस द्विघात समीकरण का विविक्तकर $\leq 0$ होना चाहिए।$(2+8a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.$4(1+4a)^2 - 4(1-4a)^2 \leq 0$.$(1+4a-1+4a)(1+4a+1-4a) \leq 0$.$(8a)(2) \leq 0$ $\Rightarrow 16a \leq 0$ $\Rightarrow a \leq 0$.$a < 1/4$ और $a \leq 0$ को संयोजित करने पर, हमें $a \in (-\infty, 0]$ प्राप्त होता है।

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