यदि f(x) = tan^{-1}left(frac{1}{sin^2 x + sin | vedclass

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Question

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + (2n-1)\sin x + (n^2-n+1)}ight)$ है।हम इसे $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{(\sin x + n

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$\frac{-100}{101}$

Vedclass · Answer

(C) श्रेणी का सामान्य पद $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + (2n-1)\sin x + (n^2-n+1)}ight)$ है।हम इसे $T_n = 	an^{-1}\left(\frac{(\sin x + n) - (\sin x + n - 1)}{1 + (\sin x + n)(\sin x + n - 1)}ight)$ के रूप में लिख सकते हैं।सर्वसमिका $	an^{-1} A - 	an^{-1} B = 	an^{-1}\left(\frac{A-B}{1+AB}ight)$ का उपयोग करने पर, हमें $T_n = 	an^{-1}(\sin x + n) - 	an^{-1}(\sin x + n - 1)$ प्राप्त होता है।$10$ पदों तक योग करने पर, हमें $f(x) = \sum_{n=1}^{10} [	an^{-1}(\sin x + n) - 	an^{-1}(\sin x + n - 1)]$ प्राप्त होता है।यह एक टेलीस्कोपिंग श्रेणी है, इसलिए $f(x) = 	an^{-1}(\sin x + 10) - 	an^{-1}(\sin x)$।$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, $f'(x) = \frac{\cos x}{1 + (\sin x + 10)^2} - \frac{\cos x}{1 + \sin^2 x}$ प्राप्त होता है।$x = 0$ पर, $f'(0) = \frac{\cos 0}{1 + (0 + 10)^2} - \frac{\cos 0}{1 + 0^2} = \frac{1}{101} - 1 = \frac{-100}{101}$।

यदि $f(x) = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + \sin x + 1}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + 3\sin x + 3}\right) + \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sin^2 x + 5\sin x + 7}\right) + \dots$ $10$ पदों तक है, तो $f'(0) = $

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यदि $y = \sin \left(2 \tan ^{-1} \sqrt{\frac{1+x}{1-x}}\right)$ है,तो $\frac{d y}{d x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y(x) = \cot^{-1}\left(\frac{\sqrt{1+\sin x} + \sqrt{1-\sin x}}{\sqrt{1+\sin x} - \sqrt{1-\sin x}}\right)$,जहाँ $x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right)$,तो $x = \frac{5\pi}{6}$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \tan^{-1} \left( \frac{\sqrt{1 + x^2} + \sqrt{1 - x^2}}{\sqrt{1 + x^2} - \sqrt{1 - x^2}} \right)$,जहाँ $x^2 \le 1$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ ज्ञात कीजिए।

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यदि $y = \tan^{-1}\left(\frac{\sin x + \cos x}{\cos x - \sin x}\right)$ है,तो $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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