यदि sqrt{1-x^2}+sqrt{1-y^2}=a(x-y) है, तो lef | vedclass

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Question

(B) दिया है, $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$.मान लीजिए $x=\sin \alpha$ और $y=\sin \beta$ है। तब $\cos \alpha + \cos \beta = a(\sin \alpha - \sin \b

Vedclass · Accepted Answer

$x\left(1-y^2\right)$

Vedclass · Answer

(B) दिया है, $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$.मान लीजिए $x=\sin \alpha$ और $y=\sin \beta$ है। तब $\cos \alpha + \cos \beta = a(\sin \alpha - \sin \beta)$.त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करने पर, $2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} = a \cdot 2 \cos \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2}$.यह सरल होकर $\cot \frac{\alpha-\beta}{2} = a$ हो जाता है, अतः $\alpha - \beta = 2 \cot^{-1} a$.मान वापस रखने पर, $\sin^{-1} x - \sin^{-1} y = 2 \cot^{-1} a$.$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}} - \frac{1}{\sqrt{1-y^2}} \frac{dy}{dx} = 0$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $\frac{dy}{dx} = \frac{\sqrt{1-y^2}}{\sqrt{1-x^2}}$.दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $\left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = \frac{1-y^2}{1-x^2}$, अतः $(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = 1-y^2$.पुनः $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर, हमें $(1-x^2) \cdot 2 \frac{dy}{dx} \frac{d^2y}{dx^2} + (-2x) \left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = -2y \frac{dy}{dx}$ प्राप्त होता है।$2 \frac{dy}{dx}$ से भाग देने पर (मानते हुए कि $\frac{dy}{dx} 
eq 0$), हमें $(1-x^2) \frac{d^2y}{dx^2} - x \frac{dy}{dx} = -y$ प्राप्त होता है।$(1-x^2)$ से गुणा करने पर, हमें $(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} - x(1-x^2) \frac{dy}{dx} = -y(1-x^2)$ प्राप्त होता है।व्यवस्थित करने पर, $(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + y(1-x^2) = x(1-x^2) \frac{dy}{dx}$.$\frac{dy}{dx}$ से गुणा करने पर, हमें $\left[(1-x^2)^2 \frac{d^2y}{dx^2} + y(1-x^2)ight] \frac{dy}{dx} = x(1-x^2) \left(\frac{dy}{dx}ight)^2$ प्राप्त होता है।चूंकि $\left(\frac{dy}{dx}ight)^2 = \frac{1-y^2}{1-x^2}$, इसलिए पद $x(1-x^2) \cdot \frac{1-y^2}{1-x^2} = x(1-y^2)$ बन जाता है।

यदि $\sqrt{1-x^2}+\sqrt{1-y^2}=a(x-y)$ है, तो $\left[\left(1-x^2\right)^2 \frac{d^2 y}{d x^2}+y\left(1-x^2\right)\right] \frac{d y}{d x}=$

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