यदि $x$ और $y$ दो धनात्मक वास्तविक संख्याएँ इस प्रकार हैं कि $xy = 4$, तो $\left(\sqrt{x} + \frac{y^2}{2}\right)$ का न्यूनतम मान क्या है?

यदि फलन $f(x) = \begin{cases} \tan^{-1}x; & x < 1 \\ \sec^{-1}x + \lambda; & x \ge 1 \end{cases}$ का $x = 1$ पर स्थानीय न्यूनतम मान है,तो $\lambda$ का परिसर ज्ञात कीजिए।

फलन $f(x) = x^2 \log x$ का अंतराल $(1, e)$ में

यदि $m$ और $n$ क्रमशः फलन $f(x) = \int_{0}^{x^{2}} \frac{t^{2}-5t+4}{2+e^{t}} dt$ के स्थानीय उच्चतम और स्थानीय न्यूनतम बिंदुओं की संख्या हैं,तो क्रमित युग्म $(m, n)$ किसके बराबर है?

एक खिड़की एक आयत के ऊपर बने अर्धवृत्ताकार भाग के रूप में है। खिड़की की कुल परिधि $10 \, m$ है। खिड़की से अधिकतम प्रकाश प्रवेश करने के लिए उसके आयाम ज्ञात कीजिए।

एक वृत्ताकार सेक्टर के रूप में फूलों की क्यारी को घेरने के लिए $20 \ m$ तार उपलब्ध है। यदि फूलों की क्यारी का क्षेत्रफल अधिकतम हो,तो वृत्त की त्रिज्या क्या होगी ($m$ में)?