यदि int frac{2 sin 2x - 3 cos x}{2 sin^2 x - | vedclass

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Question

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$ है। सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करके, अंश

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$\log \left(\frac{3}{4}\right)$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया समाकलन $I = \int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$ है। सर्वसमिका $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ का उपयोग करके, अंश को पुनः लिखने पर: $I = \int \frac{4 \sin x \cos x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx = \int \frac{(4 \sin x - 3) \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx$. माना $\sin x = t$, तब $\cos x dx = dt$. समाकलन $I = \int \frac{4t - 3}{2t^2 - 3t + 4} dt$ हो जाता है। माना $u = 2t^2 - 3t + 4$, तब $du = (4t - 3) dt$. अतः, $I = \int \frac{du}{u} = \ln |u| + c = \ln |2t^2 - 3t + 4| + c$. $t = \sin x$ वापस रखने पर, हमें $f(x) = \ln |2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4|$ प्राप्त होता है। अब, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0)$ की गणना करें: $f\left(\frac{\pi}{2}\right) = \ln |2(1)^2 - 3(1) + 4| = \ln |2 - 3 + 4| = \ln 3$. $f(0) = \ln |2(0)^2 - 3(0) + 4| = \ln 4$. इसलिए, $f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) = \ln 3 - \ln 4 = \ln \left(\frac{3}{4}\right) = \log \left(\frac{3}{4}\right)$.

यदि $\int \frac{2 \sin 2x - 3 \cos x}{2 \sin^2 x - 3 \sin x + 4} dx = f(x) + c$ जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $f\left(\frac{\pi}{2}\right) - f(0) =$

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