यदि I_n = int x^n sin x , dx और I_6 - 360 I_2 | vedclass

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Question

(A) खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $I_n = \int x^n \sin x \, dx = -x^n \cos x + n \int x^{n-1} \cos x \, dx = -x^n \cos x + n(x^{n-1} \sin x - (n-1)

Vedclass · Accepted Answer

$-85$

Vedclass · Answer

(A) खंडशः समाकलन का उपयोग करते हुए, $I_n = \int x^n \sin x \, dx = -x^n \cos x + n \int x^{n-1} \cos x \, dx = -x^n \cos x + n(x^{n-1} \sin x - (n-1) \int x^{n-2} \sin x \, dx)$.अतः, $I_n = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x - n(n-1) I_{n-2}$.इससे पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त होता है: $I_n + n(n-1) I_{n-2} = -x^n \cos x + n x^{n-1} \sin x$.$n=6$ के लिए: $I_6 + 30 I_4 = -x^6 \cos x + 6 x^5 \sin x$.$n=4$ के लिए: $I_4 + 12 I_2 = -x^4 \cos x + 4 x^3 \sin x$.दूसरे समीकरण को $-30$ से गुणा करने पर: $-30 I_4 - 360 I_2 = 30 x^4 \cos x - 120 x^3 \sin x$.दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $I_6 - 360 I_2 = (30 x^4 - x^6) \cos x + (6 x^5 - 120 x^3) \sin x$.$f(x) \cos x + g(x) \sin x$ के साथ तुलना करने पर, हमें $f(x) = 30 x^4 - x^6$ और $g(x) = 6 x^5 - 120 x^3$ प्राप्त होता है.अतः $f(1) = 30(1)^4 - (1)^6 = 29$ और $g(1) = 6(1)^5 - 120(1)^3 = -114$.इस प्रकार, $f(1) + g(1) = 29 - 114 = -85$.

यदि $I_n = \int x^n \sin x \, dx$ और $I_6 - 360 I_2 = f(x) \cos x + g(x) \sin x$ है, तो $f(1) + g(1) =$

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