यदि int frac{1}{(x-2)^5(x-1)^4} d x=sum_{r=-4 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{1}{(x-2)^5(x-1)^4} dx$. हम समाकल्य को $I = \int \frac{1}{(x-2)^9 \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^4} dx$ के रूप में लिख सकते हैं।

Vedclass · Accepted Answer

$\log (x-2)-\log (x-1)$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{1}{(x-2)^5(x-1)^4} dx$. हम समाकल्य को $I = \int \frac{1}{(x-2)^9 \left(\frac{x-1}{x-2}\right)^4} dx$ के रूप में लिख सकते हैं। माना $t = \frac{x-1}{x-2}$. तब $dt = \frac{(x-2) - (x-1)}{(x-2)^2} dx = \frac{-1}{(x-2)^2} dx$, इसलिए $dx = -(x-2)^2 dt$. चूंकि $t = \frac{x-1}{x-2} = 1 + \frac{1}{x-2}$, हमारे पास $\frac{1}{x-2} = t-1$ है, इसलिए $x-2 = \frac{1}{t-1}$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{-(t-1)^2 dt}{(t-1)^{-7} t^4} = -\int (t-1)^9 t^{-4} dt$. द्विपद प्रमेय का उपयोग करके $(t-1)^9$ का विस्तार करने पर, हमें $t^k$ के रूप के पद प्राप्त होते हैं जहाँ $k \in \{-4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5\}$. $t^{-1}$ पद का समाकलन $\log |t| = \log |\frac{x-1}{x-2}| = \log |x-1| - \log |x-2|$ देता है। इसे दिए गए रूप $\sum A_r (\frac{x-2}{x-1})^r + B f(x)$ के साथ तुलना करने पर, हम $f(x) = \log |\frac{x-2}{x-1}| = \log (x-2) - \log (x-1)$ प्राप्त करते हैं।

यदि $\int \frac{1}{(x-2)^5(x-1)^4} d x=\sum_{r=-4}^{-1} A_r\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^r+\sum_{r=1}^3 A_r\left(\frac{x-2}{x-1}\right)^r+B f(x)$, तो $f(x)=$

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मान लीजिए $f(x)=7 \tan^8 x + 7 \tan^6 x - 3 \tan^4 x - 3 \tan^2 x$ के लिए,$I_1 = \int_0^{\pi/4} f(x) \, dx$ और $I_2 = \int_0^{\pi/4} x f(x) \, dx$ है। तो $7 I_1 + 12 I_2$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $\int \frac{2 \cos x+3 \sin x}{4 \cos x+5 \sin x} dx = \left(\frac{23}{41}\right) x + K \log |4 \cos x+5 \sin x| + c$ है,तो $K$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int \frac{dx}{1-\cos x-\sin x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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