वास्तविक संख्याओं alpha, beta, gamma और delta | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करन

Vedclass · Accepted Answer

$6$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int \frac{(x^2-1) dx}{(x^4+3x^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \int \frac{dx}{x^4+3x^2+1}$.दोनों समाकलनों में अंश और हर को $x^2$ से विभाजित करने पर.$I = \int \frac{(1-1/x^2) dx}{((x+1/x)^2+1) 	an^{-1}(x+1/x)} + \frac{1}{2} \int \frac{(1+1/x^2) - (1-1/x^2) dx}{(x^2+1/x^2+3)}$.माना $t = 	an^{-1}(x+1/x)$,तब $dt = \frac{1}{1+(x+1/x)^2} (1-1/x^2) dx$.$I = \int \frac{dt}{t} + \frac{1}{2} \int \frac{1+1/x^2}{(x-1/x)^2+5} dx - \frac{1}{2} \int \frac{1-1/x^2}{(x+1/x)^2+1} dx$.$I = \log_e |t| + \frac{1}{2} \int \frac{dy}{y^2+5} - \frac{1}{2} \int \frac{dz}{z^2+1}$,जहाँ $y=x-1/x$ और $z=x+1/x$.$I = \log_e |	an^{-1}(x+1/x)| + \frac{1}{2\sqrt{5}} 	an^{-1}(\frac{x-1/x}{\sqrt{5}}) - \frac{1}{2} 	an^{-1}(x+1/x) + C$.दिए गए रूप से तुलना करने पर,$\alpha=1, \beta=\frac{1}{2\sqrt{5}}, \gamma=\frac{1}{\sqrt{5}}, \delta=-\frac{1}{2}$.अतः $10(\alpha+\beta\gamma+\delta) = 10(1 + \frac{1}{2\sqrt{5}} \cdot \frac{1}{\sqrt{5}} - \frac{1}{2}) = 10(1 + \frac{1}{10} - \frac{1}{2}) = 10(\frac{10+1-5}{10}) = 6$.

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$\int \sqrt{x^2+3x} \, dx =$

$\int \frac{1}{x \sqrt{x^6+1}} \, dx =$

यदि समाकलन $\int_{1}^{2} e^{x^2} dx$ का मान $\alpha$ है,तो $\int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln x} dx$ का मान क्या होगा?

$\int \frac{e^{-x}}{1 + e^x} \, dx = $

यदि $\int(\sqrt{\operatorname{cosec} x+1}) d x=k \tan ^{-1}(f(x))+c$ है, तो $\frac{1}{k} f\left(\frac{\pi}{6}\right)=$

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