यदि समाकलन int_{1}^{2} e^{x^2} dx का मान alph | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln x} dx$. $\ln x = t^2$ प्रतिस्थापन लेने पर,जिसका अर्थ है $x = e^{t^2}$. अतः $dx = 2t e^{t^2} dt$. जब $x = e$,तब

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$2e^4 - e - \alpha$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln x} dx$. $\ln x = t^2$ प्रतिस्थापन लेने पर,जिसका अर्थ है $x = e^{t^2}$. अतः $dx = 2t e^{t^2} dt$. जब $x = e$,तब $t^2 = \ln e = 1$,इसलिए $t = 1$. जब $x = e^4$,तब $t^2 = \ln e^4 = 4$,इसलिए $t = 2$. इस प्रकार,$I = \int_{1}^{2} t (2t e^{t^2}) dt = \int_{1}^{2} 2t^2 e^{t^2} dt$. खंडशः समाकलन (Integration by parts) का उपयोग करते हुए,$u = t$ और $dv = 2t e^{t^2} dt$ लें। तब $du = dt$ और $v = e^{t^2}$. सूत्र $\int u dv = uv - \int v du$ लागू करने पर: $I = [t e^{t^2}]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} e^{t^2} dt$. $I = (2 e^{2^2} - 1 e^{1^2}) - \alpha$. $I = 2e^4 - e - \alpha$.

यदि समाकलन $\int_{1}^{2} e^{x^2} dx$ का मान $\alpha$ है,तो $\int_{e}^{e^4} \sqrt{\ln x} dx$ का मान क्या होगा?

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