यदि $\int f(x) \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2(b^2 - a^2)} \log f(x) + c$ है,जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $f(x)$ क्या है?

$\int \sqrt{x^{2}-8 x+7} \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(x) = \int \frac{dx}{(3+4x^2) \sqrt{4-3x^2}}$,$|x| < \frac{2}{\sqrt{3}}$ है। यदि $f(0) = 0$ और $f(1) = \frac{1}{\alpha \beta} \tan^{-1}\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)$,जहाँ $\alpha, \beta > 0$ है,तो $\alpha^2 + \beta^2$ का मान $.........$ है।

$\int \frac{dx}{(1+\sqrt{x}) \sqrt{x-x^2}} = $

$\int \frac{d x}{\left(2 a x+x^2\right)^{\frac{3}{2}}} = $

यदि $\int \frac{(x^2-1)}{(x+1)^2 \sqrt{x(x^2+x+1)}} dx = A \tan^{-1}\left(\sqrt{\frac{x^2+x+1}{x}}\right) + C$, जहाँ $C$ एक स्थिरांक है, तो $A$ का मान ज्ञात कीजिए।