यदि I_m = int x^m cos n x , dx = g(x) - frac{ | vedclass

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Question

(D) हमें दिया गया है $I_m = \int x^m \cos n x \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = x^m$ और $dv = \cos n x \, dx$ लें। त

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$\frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m}{n^2} x^{m-1} \cos n x$

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(D) हमें दिया गया है $I_m = \int x^m \cos n x \, dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए, $u = x^m$ और $dv = \cos n x \, dx$ लें। तब $du = m x^{m-1} \, dx$ और $v = \frac{\sin n x}{n}$ होगा।$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \int \frac{m x^{m-1} \sin n x}{n} \, dx = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \int x^{m-1} \sin n x \, dx$.अब, $\int x^{m-1} \sin n x \, dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करें। $u = x^{m-1}$ और $dv = \sin n x \, dx$ लें। तब $du = (m-1) x^{m-2} \, dx$ और $v = -\frac{\cos n x}{n}$ होगा।$\int x^{m-1} \sin n x \, dx = -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \int \frac{(m-1) x^{m-2} \cos n x}{n} \, dx$.इस मान को $I_m$ के व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} - \frac{m}{n} \left( -\frac{x^{m-1} \cos n x}{n} + \frac{m-1}{n} \int x^{m-2} \cos n x \, dx \right)$.$I_m = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2} - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$.दिए गए समीकरण $I_m = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $g(x) = \frac{x^m \sin n x}{n} + \frac{m x^{m-1} \cos n x}{n^2}$ प्राप्त होता है।

यदि $I_m = \int x^m \cos n x \, dx = g(x) - \frac{m(m-1)}{n^2} I_{m-2}$ है, तो $g(x) = $

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