यदि a 0 है, तो int_{-pi}^{pi} frac{sin^2 x} | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, $x$ को $

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$गुणधर्म $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, $x$ को $-\pi + \pi - x = -x$ से प्रतिस्थापित करने पर:$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \sin^2 x}{a^x+1} dx$  $(ii)$$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x + a^x \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1+a^x) \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$चूंकि $\sin^2 x$ एक सम फलन है:$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$$2I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$I = \frac{\pi}{2}$

यदि $a > 0$ है, तो $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\int\limits_0^1 \frac{\ln x}{\sqrt{1 - x^2}} dx = k \int\limits_0^\pi \ln(1 + \cos x) dx$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

$\int_{\frac{-\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos x}{1+e^x} d x=$

निश्चित समाकल $\int_{-3}^{1} (2(t+1)^5 - 5(t+1)^3 + t + 3) dt$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx =$

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