જો a 0 હોય, તો int_{-pi}^{pi} frac{sin^2 x} | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, $x$ ને $-

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{\pi}{2}$

Vedclass · Answer

(A) ધારો કે $I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$  $(i)$ગુણધર્મ $\int_{a}^{b} f(x) dx = \int_{a}^{b} f(a+b-x) dx$ નો ઉપયોગ કરતા, $x$ ને $-\pi + \pi - x = -x$ વડે બદલતા:$I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2(-x)}{1+a^{-x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+\frac{1}{a^x}} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{a^x \sin^2 x}{a^x+1} dx$  $(ii)$$(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા:$2I = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x + a^x \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \frac{(1+a^x) \sin^2 x}{1+a^x} dx = \int_{-\pi}^{\pi} \sin^2 x dx$$\sin^2 x$ એ યુગ્મ વિધેય હોવાથી:$2I = 2 \int_{0}^{\pi} \sin^2 x dx = \int_{0}^{\pi} (1 - \cos 2x) dx$$2I = [x - \frac{\sin 2x}{2}]_{0}^{\pi} = (\pi - 0) - (0 - 0) = \pi$$I = \frac{\pi}{2}$

જો $a > 0$ હોય, તો $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ ની કિંમત શોધો.

Similar Questions

$\int_{ - 1}^1 {\frac{{\sin x - {x^2}}}{{3 - |x|}}\,dx} $ ની કિંમત શોધો.

$\int_a^{a + (\pi /2)} (\sin^4 x + \cos^4 x) \, dx$ નું મૂલ્ય શું છે?

$\int_0^{\pi / 2} |\sin t - \cos t| \, dt =$

$\int_{4}^{7} \frac{(11-x)^{2}}{x^{2}+(11-x)^{2}} d x$ નું મૂલ્ય શોધો.

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module