यदि f, R पर इस प्रकार परिभाषित है कि f(x) f(- | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(x)} \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = -23$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{46}{6}$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(x)} \dots (i)$ गुणधर्म $\int_{a}^{b} g(x) dx = \int_{a}^{b} g(a+b-x) dx$ का उपयोग करते हुए, जहाँ $a = -23$ और $b = 23$, हमें $a+b = 0$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(-x)}$. दिया गया है कि $f(x)f(-x) = 9$, इसलिए $f(-x) = \frac{9}{f(x)}$. इस मान को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int_{-23}^{23} \frac{dx}{3 + \frac{9}{f(x)}} = \int_{-23}^{23} \frac{f(x) dx}{3f(x) + 9} = \int_{-23}^{23} \frac{f(x) dx}{3(f(x) + 3)} \dots (ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर: $2I = \int_{-23}^{23} \left( \frac{1}{3+f(x)} + \frac{f(x)}{3(f(x)+3)} \right) dx$ $2I = \int_{-23}^{23} \frac{3 + f(x)}{3(3+f(x))} dx = \int_{-23}^{23} \frac{1}{3} dx$ $2I = \frac{1}{3} [x]_{-23}^{23} = \frac{1}{3} (23 - (-23)) = \frac{46}{3}$ $I = \frac{46}{6}$

यदि $f$, $R$ पर इस प्रकार परिभाषित है कि $f(x) f(-x) = 9$, तो $\int_{-23}^{23} \frac{dx}{3+f(x)}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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