જો I_n = int_0^{pi / 4} tan^n x , dx હોય, તો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\pi / 4} 	an^n x \, dx$. સરવાળો $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} 	an^{r+2} x \, dx$

Vedclass · Accepted Answer

હરાત્મક શ્રેણી

Vedclass · Answer

(C) આપેલ છે કે $I_n = \int_0^{\pi / 4} 	an^n x \, dx$. સરવાળો $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} 	an^{r+2} x \, dx$ ધ્યાનમાં લો. $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x (1 + 	an^2 x) \, dx$. કારણ કે $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$, તેથી $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \sec^2 x \, dx$. ધારો કે $t = 	an x$, તો $dt = \sec^2 x \, dx$. જ્યારે $x=0, t=0$ અને જ્યારે $x=\pi/4, t=1$. આમ, $I_r + I_{r+2} = \int_0^1 t^r \, dt = \left[ \frac{t^{r+1}}{r+1} ight]_0^1 = \frac{1}{r+1}$. $r=2$ માટે, $I_2 + I_4 = \frac{1}{3}$. $r=3$ માટે, $I_3 + I_5 = \frac{1}{4}$. $r=4$ માટે, $I_4 + I_6 = \frac{1}{5}$. શ્રેણી $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ છે, જે હરાત્મક શ્રેણી $(HP)$ માં છે કારણ કે તેમના વ્યસ્ત $3, 4, 5, \ldots$ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.

જો $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ હોય, તો $I_2+I_4, I_3+I_5, I_4+I_6, \ldots$ શેમાં છે?

Similar Questions

જો $f(x) = \cot^{-1} \left( \frac{x^x - x^{-x}}{2} \right)$ હોય,તો $f'(1)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}, \vec{b}, \text{ અને } \vec{c}$ એકમ સદિશો હોય,તો $|\vec{a} - \vec{b}|^2 + |\vec{b} - \vec{c}|^2 + |\vec{c} - \vec{a}|^2$ ની કિંમત શેનાથી વધતી નથી?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module