यदि I_n = int_0^{pi / 4} tan^n x , dx है, तो | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} 	an^n x \, dx$। योग $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} 	an^{r+2} x \, dx$ प

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हरात्मक श्रेणी

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(C) दिया गया है $I_n = \int_0^{\pi / 4} 	an^n x \, dx$। योग $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \, dx + \int_0^{\pi / 4} 	an^{r+2} x \, dx$ पर विचार करें। $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x (1 + 	an^2 x) \, dx$। चूंकि $1 + 	an^2 x = \sec^2 x$, इसलिए $I_r + I_{r+2} = \int_0^{\pi / 4} 	an^r x \sec^2 x \, dx$। मान लीजिए $t = 	an x$, तो $dt = \sec^2 x \, dx$। जब $x=0, t=0$ और जब $x=\pi/4, t=1$। अतः, $I_r + I_{r+2} = \int_0^1 t^r \, dt = \left[ \frac{t^{r+1}}{r+1} ight]_0^1 = \frac{1}{r+1}$। $r=2$ के लिए, $I_2 + I_4 = \frac{1}{3}$। $r=3$ के लिए, $I_3 + I_5 = \frac{1}{4}$। $r=4$ के लिए, $I_4 + I_6 = \frac{1}{5}$। अनुक्रम $\frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \frac{1}{5}, \ldots$ है, जो हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में है क्योंकि उनके व्युत्क्रम $3, 4, 5, \ldots$ समांतर श्रेणी में हैं।

यदि $I_n = \int_0^{\pi / 4} \tan^n x \, dx$ है, तो $I_2+I_4, I_3+I_5, I_4+I_6, \ldots$ किसमें हैं?

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