यदि (alpha, beta, gamma) वास्तविक संख्याओं की | vedclass

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Question

(B) दिया गया सदिश समीकरण: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\ha

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$31$

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(B) दिया गया सदिश समीकरण: $\hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}=\alpha(\hat{i}+\hat{j}+\hat{k})+\beta(\hat{i}+2 \hat{j}+3 \hat{k})+\gamma(2 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k})$.दोनों पक्षों पर $\hat{i}, \hat{j}, 	ext{ और } \hat{k}$ के गुणांकों की तुलना करने पर, हमें रैखिक समीकरणों की प्रणाली प्राप्त होती है:$1 = \alpha + \beta + 2\gamma$  $(1)$$-2 = \alpha + 2\beta - \gamma$  $(2)$$5 = \alpha + 3\beta + \gamma$  $(3)$$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर: $3 = 2\alpha + 5\beta \implies 2\alpha + 5\beta = 3$  $(4)$$(3)$ में से $(2)$ को घटाने पर: $7 = \beta + 2\gamma \implies \beta + 2\gamma = 7$  $(5)$$(1)$ से, $\alpha + \beta + 2\gamma = 1$. इसमें $(5)$ का मान रखने पर: $\alpha + 7 = 1 \implies \alpha = -6$.$\alpha = -6$ को $(4)$ में रखने पर: $2(-6) + 5\beta = 3 \implies -12 + 5\beta = 3 \implies 5\beta = 15 \implies \beta = 3$.$\beta = 3$ को $(5)$ में रखने पर: $3 + 2\gamma = 7 \implies 2\gamma = 4 \implies \gamma = 2$.अब, $\alpha^2 - \beta^2 + \gamma^2 = (-6)^2 - (3)^2 + (2)^2 = 36 - 9 + 4 = 31$.

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