જો $\vec{a} = 4 \hat{i} + 5 \hat{j} - 3 \hat{k}$ અને $\vec{b} = 6 \hat{i} - 2 \hat{j} - 2 \hat{k}$ બે સદિશો હોય, તો $\vec{a}$ ને સમાંતર $\vec{b}$ ના ઘટકનું માન શોધો. ($\sqrt{2}$ માં)

સદિશ $\vec{a} = \hat{i} - 2\hat{j} + \hat{k}$ નો સદિશ $\vec{b} = 4\hat{i} - 4\hat{j} + 7\hat{k}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો.

ધારો કે $a = i + 2j + k$, $b = i - j + k$, અને $c = i + j - k$. $a$ અને $b$ ના સમતલમાં રહેલા એક સદિશનો $c$ પરનો પ્રક્ષેપ $\frac{1}{\sqrt{3}}$ છે. તો, આવો એક સદિશ કયો છે?

જો $|a \times b|^2 + |a \cdot b|^2 = 36$ અને $|a| = 3$ હોય,તો $|b|$ ની કિંમત શોધો.

જો $\lambda > 0$ હોય,અને $\vec{a} = \hat{i} + \lambda \hat{j} - 3 \hat{k}$ તથા $\vec{b} = 3 \hat{i} - \hat{j} + 2 \hat{k}$ સદિશો વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ હોય. જો સદિશો $\vec{a} + \vec{b}$ અને $\vec{a} - \vec{b}$ પરસ્પર લંબ હોય,તો $(14 \cos \theta)^2$ ની કિંમત શોધો.

સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $ABCD$ ની બે પાસપાસેની બાજુઓ $\overrightarrow{AB} = 2\hat{i} + 10\hat{j} + 11\hat{k}$ અને $\overrightarrow{AD} = -\hat{i} + 2\hat{j} + 2\hat{k}$ દ્વારા આપવામાં આવી છે. બાજુ $AD$ ને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના સમતલમાં લઘુકોણ $\alpha$ દ્વારા ફેરવવામાં આવે છે જેથી $AD$ એ $AD'$ બને છે. જો $AD'$ એ બાજુ $AB$ સાથે કાટખૂણો બનાવે,તો ખૂણા $\alpha$ નો કોસાઇન (cosine) શું થાય?