જો $\vec{OA}=6 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$, $\vec{OB}=2 \hat{j}+\hat{k}$, અને $\vec{OC}=5 \hat{i}-\hat{j}+2 \hat{k}$ એ સમાંતરફલક (parallelepiped) ની સહ-અંતિમ ધાર હોય, તો શિરોબિંદુ $A$ માંથી દોરેલ સમાંતરફલકની ઊંચાઈ શોધો.

ધારો કે $\vec{v} = 2\hat{i} + 2\hat{j} - \hat{k}$ અને $\vec{w} = \hat{i} + 3\hat{k}$. જો $\vec{u}$ એક એકમ સદિશ હોય,તો અદિશ ત્રિગુણિત ગુણાકાર $[\vec{u} \vec{v} \vec{w}]$ નું મહત્તમ મૂલ્ય શોધો.

ધારો કે $a, b$ અને $c$ ત્રણ અસમતલીય સદિશો છે અને $p, q$ અને $r$ એ $p=\frac{b \times c}{[a b c]}, q=\frac{c \times a}{[a b c]}, r=\frac{a \times b}{[a b c]}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત સદિશો છે. તો, $(a+b) \cdot p+(b+c) \cdot q+(c+a) \cdot r$ ની કિંમત શોધો.

જો $[\bar{a} \bar{b} \bar{c}] \neq 0$ હોય,તો $\frac{[\bar{a}+\bar{b} \quad \bar{b}+\bar{c} \quad \bar{c}+\bar{a}]}{[\bar{b} \bar{c} \bar{a}]}=$

ધારો કે $\bar{a}=\lambda \bar{i}+3 \bar{j}+4 \bar{k}$, $\bar{b}=3 \bar{i}-\bar{j}+\lambda \bar{k}$ અને $\bar{c}=\lambda \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ એ કોઈ પૂર્ણાંક $\lambda$ માટે ત્રણ સદિશો છે. જો $\bar{a}, \bar{b}, \bar{c}$ ધારવાળા સમાંતરફલકનું ઘનફળ $61$ ઘન એકમ હોય, તો $\lambda$ ના શક્ય મૂલ્યોની સંખ્યા કેટલી છે?

જો $\vec{r}$ એ સદિશો $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$ અને $3 \hat{i}-\hat{j}+\hat{k}$ બંનેને લંબ સદિશ હોય અને $\vec{r} \cdot(3 \hat{i}-3 \hat{j}+4 \hat{k})=5$ નું સમાધાન કરતો હોય, તો $|\vec{r}|=$