यदि $a, b, c$ तीन असमतलीय सदिश हैं और $d$ कोई इकाई सदिश है, तो $|(a \cdot d)(b \times c) + (b \cdot d)(c \times a) + (c \cdot d)(a \times b)| = $

मान लीजिए $\overrightarrow{a}=\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $\overrightarrow{b}=2 \hat{i}+3 \hat{j}-\hat{k}$ और $\overrightarrow{c}=\lambda \hat{i}+\hat{j}+(2 \lambda-1) \hat{k}$ है। यदि $\overrightarrow{c}$, $\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{b}$ वाले समतल के समानांतर है, तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि सदिशों $\hat{i} + \lambda \hat{j} + \hat{k}$,$\hat{j} + \lambda \hat{k}$ और $\lambda \hat{i} + \hat{k}$ द्वारा निर्मित समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन न्यूनतम है,तो $\lambda$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि एक चतुष्फलक जिसके सह-अंतिम किनारे $\bar{i}+2 \bar{j}-3 \bar{k}$, $2 \bar{i}+\bar{j}-3 \bar{k}$ और $3 \bar{i}-\bar{j}+p \bar{k}$ हैं, का आयतन $2$ है, तो $p$ के मान किस समीकरण के मूल हैं?

यदि $\bar{a}$,$\bar{b}$,और $\bar{c}$ असमतलीय सदिश हैं और $(\bar{a} + \bar{b} + \bar{c}) \cdot (\bar{a} \times \bar{b} + \bar{b} \times \bar{c} + \bar{c} \times \bar{a}) = k[\bar{a} \bar{b} \bar{c}]$ है,तो $k$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\overrightarrow{a}, \overrightarrow{b}$ और $\overrightarrow{c}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक (parallelepiped) का आयतन $40 \text{ घन इकाई}$ है,तो $\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}, \overrightarrow{c}+\overrightarrow{a}$ और $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ किनारों वाले समांतर षट्फलक का आयतन घन इकाई में क्या होगा?