यदि $f(x) = \log \left[ \frac{1 + x}{1 - x} \right]$ है,तो $f\left[ \frac{2x}{1 + x^2} \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $f: R \setminus \{0\} \rightarrow R$ को $f(x) = x + \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित किया गया है,तो $(f(x))^2$ का मान =

यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\frac{2020^x}{2020^x+\sqrt{2020}}$,$\forall x \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $\sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right)=$

मान लीजिए $S=(0,1) \cup(1,2) \cup(3,4)$ और $T=\{0,1,2,3\}$ है। तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A)$ $S$ से $T$ तक अनंत फलन हैं।
$(B)$ $S$ से $T$ तक अनंत रूप से वर्धमान फलन हैं।
$(C)$ $S$ से $T$ तक सतत फलनों की संख्या अधिकतम $120$ है।
$(D)$ $S$ से $T$ तक प्रत्येक सतत फलन अवकलनीय है।

मान लीजिए $[x]$,$x \in R$ का पूर्णांक भाग दर्शाता है। $g(x) = x - [x]$ है। मान लीजिए $f(x)$ एक सतत फलन है जहाँ $f(0) = f(1)$ है। तब फलन $h(x) = f(g(x))$:

मान लीजिए $A = \{(x, y) : y = e^x, x \in R\}$ और $B = \{(x, y) : y = e^{-x}, x \in R\}$ है। तो: