यदि $f: R \rightarrow R$ को $f(x)=\frac{2020^x}{2020^x+\sqrt{2020}}$,$\forall x \in R$ के रूप में परिभाषित किया गया है,तो $\sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right)=$

मान लीजिए $f:(-1,1) \rightarrow \mathbb{R}$ इस प्रकार है कि $\theta \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) \cup \left(\frac{\pi}{4}, \frac{\pi}{2}\right)$ के लिए $f(\cos 4 \theta) = \frac{2}{2-\sec^2 \theta}$ है। तो $f\left(\frac{1}{3}\right)$ का मान (मानों) ज्ञात कीजिए।

List-$I$ की वस्तुओं को List-$II$ की वस्तुओं के साथ सुमेलित कीजिए:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\sec ^{-1}\left[1+\cos ^2 x\right]$ का परिसर, जहाँ $[.]$ महत्तम पूर्णांक फलन है	$I$. विषम फलन
$B$. $f(x)$ का प्रांत जहाँ $f\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^2+\frac{1}{x^2}$	$II$. $\left\{0, \frac{1}{2}\right\}$
$C$. $f(x+y)=f(x)+f(y) ; f(1)=5$	$III$. $\left\{\sec ^{-1} 5, \sec ^{-1} 4\right\}$
$D$. $\sin ^{-1} x-\cos ^{-1} x+\sin ^{-1}(1-x)=0 \Rightarrow x \in$	$IV$. $R$
	$V$. $\left\{\sec ^{-1} 1, \sec ^{-1} 2\right\}$

यदि $N$ सभी धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय को दर्शाता है और यदि $f: N \rightarrow N$ को $f(n) = n$ के धनात्मक भाजकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है, तो $f(2^k \cdot 3)$, जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है, क्या होगा?

मान लीजिए $f, g: R \rightarrow R$ ऐसे फलन हैं जो $f(x) = \begin{cases} [x] & x < 0 \\ |1-x| & x \geq 0 \end{cases}$ और $g(x) = \begin{cases} e^x - x & x < 0 \\ (x-1)^2 - 1 & x \geq 0 \end{cases}$ द्वारा परिभाषित हैं,जहाँ $[x]$ $x$ से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक दर्शाता है। तो,फलन $(f \circ g)(x)$ ठीक कितने बिंदुओं पर असतत है?

मान लीजिए $f_1: R \rightarrow R$,$f_2:[0, \infty) \rightarrow R$,$f_3: R \rightarrow R$ और $f_4: R \rightarrow [0, \infty)$ इस प्रकार परिभाषित हैं:
$f_1(x) = \begin{cases} |x| & \text{यदि } x < 0 \\ e^x & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases}$
$f_2(x) = x^2$
$f_3(x) = \begin{cases} \sin x & \text{यदि } x < 0 \\ x & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases}$ और
$f_4(x) = \begin{cases} f_2(f_1(x)) & \text{यदि } x < 0 \\ f_2(f_1(x)) - 1 & \text{यदि } x \geq 0 \end{cases}$

सूची $I$	सूची $II$
$P. f_4$ है	$1. \text{आच्छादक (onto) है लेकिन एकैकी (one-one) नहीं}$
$Q. f_3$ है	$2. \text{न तो संतत है और न ही एकैकी}$
$R. f_2 \circ f_1$ है	$3. \text{अवकलनीय है लेकिन एकैकी नहीं}$
$S. f_2$ है	$4. \text{संतत और एकैकी है}$

कोड: $P \quad Q \quad R \quad S$