જો $f: R \rightarrow R$ એ $f(x)=\frac{2020^x}{2020^x+\sqrt{2020}}$,$\forall x \in R$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત હોય,તો $\sum_{r=1}^{4039} 2 f\left(\frac{r}{4040}\right)=$

જો $f(x) = 2\sin x$ અને $g(x) = \cos^2 x$ હોય,તો $(f + g)\left(\frac{\pi}{3}\right) = $

સમીકરણ $|x^2 - 2|x|| = 2^x$ ના ઉકેલોની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f, g: R \rightarrow R$ એ અનુક્રમે $f(x) = x + 1$ અને $g(x) = 2x - 3$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $f+g$,$f-g$ અને $\frac{f}{g}$ શોધો.

નીચેનાને જોડો:

List-$I$	List-$II$
$A$. $\frac{x}{e^x-1} + \frac{x}{2} + 4; x \neq 0$	$I$. અયુગ્મ કે યુગ્મ વિધેય નથી
$B$. $\tan^{-1}(\log|x+\sqrt{x^2+1}|), x > 0$	$II$. યુગ્મ વિધેય છે
$C$. $3 < x < 5$ માટે,$|x-2|+|x-3|+|x-5|$	$III$. અયુગ્મ વિધેય છે
$D$. $\sin 2x + \sin^2 x + \cos 3x, \forall x \in \mathbb{R}$	$IV$. તદેવ વિધેય છે
	$V$. અચળ વિધેય છે

ધારો કે $g(x) = 1 + x - [x]$ અને $f(x) = \begin{cases} -1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 1, & x > 0 \end{cases}$,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક દર્શાવે છે. તો તમામ $x$ માટે,$f(g(x)) = $