જો $f(x)=2^{100} x+1$ અને $g(x)=3^{100} x+1$ હોય, તો વાસ્તવિક સંખ્યાઓ $x$ નો ગણ કે જેના માટે $f(g(x))=x$ થાય તે

ધારો કે $Q$ એ $[0,1]$ માં તમામ સંમેય સંખ્યાઓનો ગણ છે અને $f:[0,1] \rightarrow [0,1]$ એ $f(x) = \begin{cases} x & \text{જો } x \in Q \\ 1-x & \text{જો } x \notin Q \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. તો, ગણ $S = \{x \in [0,1] : (f \circ f)(x) = x\}$ એ શેના બરાબર છે?

$R$ થી $R$ પરના વિધેયો $f, g$ અને $h$ ને વ્યાખ્યાયિત કરો,જ્યાં $f(x) = x^2 - 1, g(x) = \sqrt{x^2 + 1}$ અને $h(x) = \begin{cases} 0, & x \leq 0 \\ x, & x \geq 0 \end{cases}$ છે. નીચેના વિધાનો ધ્યાનમાં લો:

ધારો કે $f, g :(1, \infty) \rightarrow \mathbb{R}$ એ $f(x) = \frac{2x+3}{5x+2}$ અને $g(x) = \frac{2-3x}{1-x}$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત છે. જો વિધેય $f \circ g : [2, 4] \rightarrow \mathbb{R}$ નો વિસ્તાર $[\alpha, \beta]$ હોય,તો $\frac{1}{\beta-\alpha}$ ની કિંમત શોધો.

જો $g(x) = x^2 + x - 2$ અને $\frac{1}{2}g(f(x)) = 2x^2 - 5x + 2$ હોય,તો $f(x)$ શું થાય?

ધારો કે $N$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે,અને $Z$ એ તમામ પૂર્ણાંક સંખ્યાઓનો ગણ છે. વિધેયો $f: N \rightarrow Z$ અને $g: Z \rightarrow N$ ધ્યાનમાં લો,જે $f(n) = \begin{cases} (n+1)/2 & \text{જો } n \text{ એકી હોય} \\ (4-n)/2 & \text{જો } n \text{ બેકી હોય} \end{cases}$ અને $g(n) = \begin{cases} 3+2n & \text{જો } n \geq 0 \\ -2n & \text{જો } n < 0 \end{cases}$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત છે. $(g \circ f)(n) = g(f(n))$ બધા $n \in N$ માટે,અને $(f \circ g)(n) = f(g(n))$ બધા $n \in Z$ માટે વ્યાખ્યાયિત કરો. તો નીચેનામાંથી કયું વિધાન (વિધાનો) સત્ય છે?