यदि int e^{sin x} cdot left[ frac{x cos^3 x - | vedclass

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Question

(A) दिया गया समाकलन: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right) dx = e^{\sin x} f(x) + c$. समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{x

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$x - \sec x$

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(A) दिया गया समाकलन: $\int e^{\sin x} \left( \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} ight) dx = e^{\sin x} f(x) + c$. समाकल्य को सरल करने पर: $\frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \frac{\sin x}{\cos^2 x} = x \cos x - \sec x 	an x$. अतः समाकलन इस प्रकार होगा: $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x 	an x) dx$. इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $\int [e^{\sin x} \cos x \cdot x - e^{\sin x} \sec x 	an x] dx$. यहाँ ध्यान दें कि $\frac{d}{dx} [e^{\sin x} (x - \sec x)] = e^{\sin x} \cos x (x - \sec x) + e^{\sin x} (1 - \sec x 	an x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x \cos x + 1 - \sec x 	an x) = e^{\sin x} (x \cos x - 1 + 1 - \sec x 	an x) = e^{\sin x} (x \cos x - \sec x 	an x)$. इस प्रकार, $\int e^{\sin x} (x \cos x - \sec x 	an x) dx = e^{\sin x} (x - \sec x) + c$. इसकी तुलना $e^{\sin x} f(x) + c$ से करने पर, हमें $f(x) = x - \sec x$ प्राप्त होता है।

यदि $\int e^{\sin x} \cdot \left[ \frac{x \cos^3 x - \sin x}{\cos^2 x} \right] dx = e^{\sin x} f(x) + c$, जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है, तो $f(x)$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int \left\{ \cos^{-1} x - (1-x^2)^{-\frac{1}{2}} \right\} k \, dx = k \cdot \cos^{-1} x + c$ है,तो $k = $ . . . . . . .

$\int e^x \left( \frac{x^2+4x+4}{(x+4)^2} \right) dx$ का मान क्या है?

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