જો $y = \frac{x}{\log_e|cx|}$ એ વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{y}{x} + \phi\left(\frac{x}{y}\right)$ નો ઉકેલ હોય, તો $\phi\left(\frac{x}{y}\right)$ શું થાય?

વિકલ સમીકરણ $(x^2+xy+4x+2y+4) \frac{dy}{dx}-y^2=0, x>0$ નો ઉકેલ વક્ર બિંદુ $(1,3)$ માંથી પસાર થાય છે. તો ઉકેલ વક્ર

કૉલમ $I$ માં આપેલા વિધાનો/પદાવલિઓને કૉલમ $II$ માં આપેલા વિવૃત અંતરાલો સાથે જોડો.

કૉલમ $I$	કૉલમ $II$
$(A)$ વિકલ સમીકરણ $(x-3)^2 y^{\prime}+y=0$ ના શૂન્યતર ઉકેલોના પ્રદેશમાં સમાવિષ્ટ અંતરાલ	$(p)$ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$
$(B)$ સંકલન $\int_1^5(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) dx$ ની કિંમત ધરાવતો અંતરાલ	$(q)$ $(0, \frac{\pi}{2})$
$(C)$ અંતરાલ જેમાં $\cos^2 x+\sin x$ ના સ્થાનિક મહત્તમ બિંદુઓમાંથી ઓછામાં ઓછું એક બિંદુ આવેલું હોય	$(r)$ $(\frac{\pi}{8}, \frac{5\pi}{4})$
$(D)$ અંતરાલ જેમાં $\tan^{-1}(\sin x+\cos x)$ વધતું વિધેય છે	$(s)$ $(0, \frac{\pi}{8})$
	$(t)$ $(-\pi, \pi)$

સમીકરણ $(xy \cos xy + \sin xy)dx + x^2 \cos xy \, dy = 0$ નો ઉકેલ શોધો.

વિકલ સમીકરણ $\frac{dy}{dx} = \frac{2x-3y+4}{3x+2y-7}$ નો વ્યાપક ઉકેલ શોધો.

ધારો કે $f$ એ બે વાર વિકલનીય વિધેય છે જેથી $f(x) = \int_{0}^{x} \tan(t-x) dt - \int_{0}^{x} f(t) \tan t dt$, જ્યાં $x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right)$. તો $f''\left(\frac{\pi}{6}\right) + f\left(\frac{\pi}{6}\right)$ ની કિંમત . . . . . . થાય.