यदि y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) dots (nx+1)]^4, जह | vedclass

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Question

(B) माना $f(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1) \dots (nx+1)$ है। तब $y = [f(x)]^4$ है।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = 4[f(x)]^3 \cdo

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$n(n+1)$

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(B) माना $f(x) = (x+1)(2x+1)(3x+1) \dots (nx+1)$ है। तब $y = [f(x)]^4$ है।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर, $\frac{dy}{dx} = 4[f(x)]^3 \cdot f'(x)$ है।$x = 0$ पर, $f(0) = (1)(1)(1) \dots (1) = 1$ है।$f'(0)$ ज्ञात करने के लिए, हम लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) का उपयोग करते हैं: $\ln f(x) = \sum_{i=1}^{n} \ln(ix+1)$।दोनों पक्षों का अवकलन करने पर: $\frac{f'(x)}{f(x)} = \sum_{i=1}^{n} \frac{i}{ix+1}$।$x = 0$ पर, $\frac{f'(0)}{f(0)} = \sum_{i=1}^{n} i = \frac{n(n+1)}{2}$ है।चूँकि $f(0) = 1$ है, इसलिए $f'(0) = \frac{n(n+1)}{2}$ है।अब, $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 4[f(0)]^3 \cdot f'(0) = 4(1)^3 \cdot \frac{n(n+1)}{2} = 2n(n+1)$ है।दिया गया है कि $\frac{dy}{dx} \big|_{x=0} = 2k$, अतः $2k = 2n(n+1)$, जिससे $k = n(n+1)$ प्राप्त होता है।

यदि $y = [(x+1)(2x+1)(3x+1) \dots (nx+1)]^4$, जहाँ $n \in N$ और $x = 0$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान $2k$ है, तो $k$ का मान है

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