यदि u = tan^{-1}(frac{y}{x}) है,तो यूलर प्रमे | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $u = 	an^{-1}(\frac{y}{x})$.इसे हम $	an u = \frac{y}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।मान लीजिए $f(u) = 	an u = \frac{y}{x}$ है।यहाँ,$f(

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(A) दिया गया है $u = 	an^{-1}(\frac{y}{x})$.इसे हम $	an u = \frac{y}{x}$ के रूप में लिख सकते हैं।मान लीजिए $f(u) = 	an u = \frac{y}{x}$ है।यहाँ,$f(u)$,$x$ और $y$ का $n = 0$ घात वाला एक समघात फलन है क्योंकि $\frac{ty}{tx} = (\frac{y}{x})^0 \cdot \frac{y}{x}$ है।समघात फलनों के लिए यूलर प्रमेय के अनुसार,यदि $f(u)$ घात $n$ का एक समघात फलन है,तो $x \frac{\partial f}{\partial x} + y \frac{\partial f}{\partial y} = n f(u)$ होता है।यहाँ,$f(u) = 	an u$ और $n = 0$ है।अतः,$x \frac{\partial (	an u)}{\partial x} + y \frac{\partial (	an u)}{\partial y} = 0 \cdot 	an u = 0$ होगा।श्रृंखला नियम (chain rule) का उपयोग करने पर,$x \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial x} + y \sec^2 u \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ प्राप्त होता है।$\sec^2 u$ से विभाजित करने पर,हमें $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y} = 0$ प्राप्त होता है।

यदि $u = \tan^{-1}(\frac{y}{x})$ है,तो यूलर प्रमेय के अनुसार $x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}$ का मान क्या होगा?

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