यदि sqrt{1 - x^6} + sqrt{1 - y^6} = a^3(x^3 - | vedclass

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Question

(C) माना $x^3 = \sin 	heta$ और $y^3 = \sin \phi$ है।तब समीकरण $\sqrt{1 - \sin^2 	heta} + \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = a^3(\sin 	heta - \sin \phi)$ हो ज

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$\frac{x^2}{y^2}\sqrt{\frac{1 - y^6}{1 - x^6}}$

Vedclass · Answer

(C) माना $x^3 = \sin 	heta$ और $y^3 = \sin \phi$ है।तब समीकरण $\sqrt{1 - \sin^2 	heta} + \sqrt{1 - \sin^2 \phi} = a^3(\sin 	heta - \sin \phi)$ हो जाता है।यह सरल होकर $\cos 	heta + \cos \phi = a^3(\sin 	heta - \sin \phi)$ बन जाता है।त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करते हुए,$2 \cos \frac{	heta + \phi}{2} \cos \frac{	heta - \phi}{2} = 2 a^3 \sin \frac{	heta - \phi}{2} \cos \frac{	heta + \phi}{2}$.इससे $\cos \frac{	heta + \phi}{2} [\cos \frac{	heta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{	heta - \phi}{2}] = 0$ प्राप्त होता है।यदि $\cos \frac{	heta + \phi}{2} = 0$ है,तो $	heta + \phi = \pi$ होगा,जो $x^3 = \sin 	heta = \sin(\pi - \phi) = \sin \phi = y^3$ की ओर ले जाता है,अर्थात $x = y$। मूल समीकरण में $x = y$ रखने पर $2\sqrt{1-x^6} = 0$ प्राप्त होता है,जो सभी $x$ के लिए सत्य नहीं है।अतः,हमें $\cos \frac{	heta - \phi}{2} - a^3 \sin \frac{	heta - \phi}{2} = 0$ लेना होगा,या $\cot \frac{	heta - \phi}{2} = a^3$।इसका अर्थ है $	heta - \phi = 2 \cot^{-1}(a^3)$,या $\sin^{-1}(x^3) - \sin^{-1}(y^3) = 2 \cot^{-1}(a^3)$।दोनों पक्षों का $x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर:$\frac{3x^2}{\sqrt{1 - x^6}} - \frac{3y^2}{\sqrt{1 - y^6}} \frac{dy}{dx} = 0$.$\frac{dy}{dx}$ के लिए हल करने पर,हमें $\frac{dy}{dx} = \frac{x^2}{y^2} \sqrt{\frac{1 - y^6}{1 - x^6}}$ प्राप्त होता है।

यदि $\sqrt{1 - x^6} + \sqrt{1 - y^6} = a^3(x^3 - y^3)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

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यदि $y = \tan^{-1}\left( \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} \right)$ है,तो $\frac{dy}{dx} = $

यदि $y=\tan ^{-1}\left[\frac{\sin ^3(2 x)-3 x^2 \sin (2 x)}{3 x \sin ^2(2 x)-x^3}\right]$ है, तो $\frac{d y}{d x}=$

यदि $u=\sin ^{-1}\left(\frac{2 x}{1+x^2}\right)$ और $v=\tan ^{-1}\left(\frac{2 x}{1-x^2}\right)$ है,तो $\frac{d u}{d v}$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $y = \sec(\tan^{-1} x)$ है,तो $x = 1$ पर $\frac{dy}{dx}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $f(\theta) = \sin \left(\tan^{-1} \left(\frac{\sin \theta}{\sqrt{\cos 2\theta}} \right) \right)$,जहाँ $-\frac{\pi}{4} < \theta < \frac{\pi}{4}$ है। तो $\frac{d}{d(\tan \theta)}(f(\theta))$ का मान ज्ञात कीजिए।

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