यदि int {frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} - 4)}}} dx$. आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} - 4

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{{11}}{{12}}, \frac{5}{6}$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} - 4)}}} dx$. आंशिक भिन्न विधि का उपयोग करते हुए,$\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} - 4)}} = \frac{A}{{{x^2} - 1}} + \frac{B}{{{x^2} - 4}}$. तब $2{x^2} + 3 = A({x^2} - 4) + B({x^2} - 1)$. ${x^2}$ के गुणांकों और अचर पदों की तुलना करने पर: $A + B = 2$ $(i)$ $-4A - B = 3$ $(ii)$ $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर,$-3A = 5 \implies A = -\frac{5}{3}$. $A$ का मान $(i)$ में रखने पर,$B = 2 + \frac{5}{3} = \frac{11}{3}$. अतः,$I = \int {\frac{{ - 5/3}}{{{x^2} - 1}} dx} + \int {\frac{{11/3}}{{{x^2} - 4}} dx}$. सूत्र $\int {\frac{{dx}}{{{x^2} - {a^2}}}} = \frac{1}{{2a}}\log \left| {\frac{{x - a}}{{x + a}}} \right| + c$ का उपयोग करने पर: $I = -\frac{5}{3} \cdot \frac{1}{2} \log \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + \frac{{11}}{3} \cdot \frac{1}{4} \log \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c$. $I = -\frac{5}{6} \log \left| {\frac{{x - 1}}{{x + 1}}} \right| + \frac{{11}}{{12}} \log \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c$. $I = \frac{5}{6} \log \left| {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right| + \frac{{11}}{{12}} \log \left| {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right| + c$. $\log {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)^a}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^b} + c$ से तुलना करने पर,हमें $a = \frac{{11}}{{12}}$ और $b = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।

यदि $\int {\frac{{2{x^2} + 3}}{{({x^2} - 1)({x^2} - 4)}}} dx = \log {\left( {\frac{{x - 2}}{{x + 2}}} \right)^a}{\left( {\frac{{x + 1}}{{x - 1}}} \right)^b} + c$ है,तो $a$ और $b$ के मान क्रमशः क्या हैं?

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