यदि {I_m} = int_1^x {(log x)^m} dx संबंध {I_m | vedclass

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Question

(B) दिया गया है ${I_m} = \int_1^x {(\log x)^m} dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^m$ और $dv = dx$। तब

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$l = m$

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(B) दिया गया है ${I_m} = \int_1^x {(\log x)^m} dx$। खंडशः समाकलन (integration by parts) का उपयोग करते हुए,मान लीजिए $u = (\log x)^m$ और $dv = dx$। तब $du = m(\log x)^{m-1} \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$। ${I_m} = [x(\log x)^m]_1^x - \int_1^x x \cdot m(\log x)^{m-1} \cdot \frac{1}{x} dx$। ${I_m} = x(\log x)^m - m \int_1^x (\log x)^{m-1} dx$। ${I_m} = x(\log x)^m - m{I_{m-1}}$। इसकी तुलना दिए गए संबंध ${I_m} = k - l{I_{m-1}}$ से करने पर,हमें $k = x(\log x)^m$ और $l = m$ प्राप्त होता है। अतः,सही विकल्प $l = m$ है।

यदि ${I_m} = \int_1^x {(\log x)^m} dx$ संबंध ${I_m} = k - l{I_{m - 1}}$ को संतुष्ट करता है,तो:

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$\int e^x \sin x \, dx = $

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फलन का समाकलन कीजिए: $\int x(\log x)^{2} \, dx$

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