यदि f(x) = Asin left( frac{pi x}{2} right) + | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$. सबसे पहले,हम समाकलन की शर्त का उपयोग करते हैं: $\int_0^1 \left( A\sin \left( \frac{

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$\frac{4}{\pi}$ और $0$

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(C) दिया गया है $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$. सबसे पहले,हम समाकलन की शर्त का उपयोग करते हैं: $\int_0^1 \left( A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B \right) dx = \frac{2A}{\pi}$. समाकलन का मूल्यांकन करने पर: $\left[ -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right) + Bx \right]_0^1 = \frac{2A}{\pi}$. सीमाओं को प्रतिस्थापित करने पर: $\left( -\frac{2A}{\pi} \cos \left( \frac{\pi}{2} \right) + B(1) \right) - \left( -\frac{2A}{\pi} \cos(0) + B(0) \right) = \frac{2A}{\pi}$. चूंकि $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$ और $\cos(0) = 1$,हमें प्राप्त होता है: $B - (-\frac{2A}{\pi}) = \frac{2A}{\pi} \implies B + \frac{2A}{\pi} = \frac{2A}{\pi} \implies B = 0$. अब,$f'(x)$ ज्ञात करते हैं: $f'(x) = A \cdot \frac{\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi x}{2} \right)$. दिया गया है $f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$,इसलिए: $\frac{A\pi}{2} \cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \sqrt{2}$. चूंकि $\cos \left( \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{\sqrt{2}}$,हमें प्राप्त होता है: $\frac{A\pi}{2} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \implies \frac{A\pi}{2} = 2 \implies A = \frac{4}{\pi}$. अतः,$A = \frac{4}{\pi}$ और $B = 0$.

यदि $f(x) = A\sin \left( \frac{\pi x}{2} \right) + B$,$f'\left( \frac{1}{2} \right) = \sqrt{2}$ और $\int_0^1 f(x) \, dx = \frac{2A}{\pi}$ है,तो स्थिरांक $A$ और $B$ क्रमशः क्या हैं?

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यदि $f : R \to R$ एक सतत फलन है,जैसे कि $f(x) = \int\limits_1^x {tf(t)dt}$,तो सही कथन है -

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$\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \sin^2 x \, dx = $ . . . . . . .

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