यदि z neq 1 और frac{z^2}{z-1} वास्तविक है,तो | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि $\frac{z^2}{z-1}$ वास्तविक है,इसलिए यह अपने संयुग्मी (conjugate) के बराबर होना चाहिए: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\ove

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या तो वास्तविक अक्ष पर या मूल बिंदु से गुजरने वाले एक वृत्त पर

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है कि $\frac{z^2}{z-1}$ वास्तविक है,इसलिए यह अपने संयुग्मी (conjugate) के बराबर होना चाहिए: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.वज्र-गुणन करने पर: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.पदों का विस्तार करने पर: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.पदों को व्यवस्थित करने पर: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.गुणनखंड करने पर: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.इसका अर्थ है कि या तो $z-\overline{z} = 0$ या $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.$z-\overline{z} = 0$ का अर्थ है कि $z$ वास्तविक है (वास्तविक अक्ष पर स्थित है)।$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ को $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है,अर्थात $|z-1|^2 = 1$,जो $1$ केंद्र और $1$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है। यह वृत्त मूल बिंदु से गुजरता है क्योंकि $|0-1| = 1$.अतः,$z$ वास्तविक अक्ष पर या मूल बिंदु से गुजरने वाले वृत्त पर स्थित है।

यदि $z \neq 1$ और $\frac{z^2}{z-1}$ वास्तविक है,तो सम्मिश्र संख्या $z$ द्वारा निरूपित बिंदु स्थित है:

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आर्गंड समतल में $1+2i, 2-3i, 3-4i$ के सम्मिश्र संयुग्मों द्वारा निरूपित बिंदु:

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