જો z neq 1 અને frac{z^2}{z-1} વાસ્તવિક હોય,તો | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.

Vedclass · Accepted Answer

કાં તો વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર

Vedclass · Answer

(A) આપેલ છે કે $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક છે,તેથી તે તેના અનુબદ્ધ (conjugate) જેટલું જ હોય: $\frac{z^2}{z-1} = \frac{\overline{z}^2}{\overline{z}-1}$.ગુણાકાર કરતા: $z^2(\overline{z}-1) = \overline{z}^2(z-1)$.પદોને વિસ્તૃત કરતા: $z^2\overline{z} - z^2 = \overline{z}^2z - \overline{z}^2$.પદોને ગોઠવતા: $z^2\overline{z} - \overline{z}^2z - z^2 + \overline{z}^2 = 0$.અવયવ પાડતા: $z\overline{z}(z-\overline{z}) - (z-\overline{z})(z+\overline{z}) = 0$.$(z-\overline{z})(z\overline{z} - (z+\overline{z})) = 0$.આનો અર્થ એ છે કે કાં તો $z-\overline{z} = 0$ અથવા $z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$.$z-\overline{z} = 0$ સૂચવે છે કે $z$ વાસ્તવિક છે (વાસ્તવિક અક્ષ પર છે).$z\overline{z} - z - \overline{z} = 0$ ને $(z-1)(\overline{z}-1) = 1$ તરીકે લખી શકાય,એટલે કે $|z-1|^2 = 1$,જે $1$ કેન્દ્ર અને $1$ ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે. આ વર્તુળ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે કારણ કે $|0-1| = 1$.આમ,$z$ વાસ્તવિક અક્ષ પર અથવા ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતા વર્તુળ પર આવેલું છે.

જો $z \neq 1$ અને $\frac{z^2}{z-1}$ વાસ્તવિક હોય,તો સંકર સંખ્યા $z$ દ્વારા દર્શાવતું બિંદુ ક્યાં આવેલું છે?

Similar Questions

કોઈપણ બે સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2$ માટે,જો $|z_1 + z_2|^2 = |z_1|^2 + |z_2|^2$ હોય,તો:

જો $z = x + iy$ અને $\arg\left( \frac{z - 2}{z + 2} \right) = \frac{\pi}{6}$ હોય,તો $z$ નો બિંદુપથ શું છે?

જો વર્તુળ $\left|\frac{z-2}{z-3}\right|=2$ નું કેન્દ્ર અને ત્રિજ્યા અનુક્રમે $(\alpha, \beta)$ અને $\gamma$ હોય,તો $3(\alpha+\beta+\gamma)$ ની કિંમત શોધો.

સંકર સંખ્યાઓ $z_1, z_2, z_3$ એ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ છે. તો એવી સંકર સંખ્યાઓ $z$ શોધો જે ત્રિકોણને સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ બનાવે.

જો $|z_1 + z_2| = |z_1 - z_2|$ હોય,તો $z_1$ અને $z_2$ ના કંપનવિસ્તાર (amplitudes) વચ્ચેનો તફાવત કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module