यदि log (1 - x + {x^2}) = {a_1}x + {a_2}{x^2} | vedclass

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Question

(B) हम जानते हैं कि $\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots$ जहाँ $|z| < 1$ है।दिया गया है $\log(1 - x + x^2) = \log((1

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$\frac{2}{3}\log 2$

Vedclass · Answer

(B) हम जानते हैं कि $\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \frac{z^4}{4} + \dots$ जहाँ $|z| दिया गया है $\log(1 - x + x^2) = \log((1+x^3)/(1+x)) = \log(1+x^3) - \log(1+x)$.दोनों पदों का विस्तार करने पर:$\log(1+x^3) = x^3 - \frac{x^6}{2} + \frac{x^9}{3} - \frac{x^{12}}{4} + \dots$$\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^6}{6} + \dots$इन दोनों को घटाने पर,$x^{3k}$ के गुणांक $\log(1+x^3)$ के पदों में से $\log(1+x)$ के संगत पदों को घटाने पर प्राप्त होते हैं।विशेष रूप से,$a_{3k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k} - \frac{(-1)^{3k-1}}{3k} = \frac{(-1)^{k-1}}{k} - \frac{(-1)^{k-1}}{3k} = \frac{2}{3} \frac{(-1)^{k-1}}{k}$.अतः,$\sum_{k=1}^{\infty} a_{3k} = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{2}{3} \frac{(-1)^{k-1}}{k} = \frac{2}{3} (1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + \dots) = \frac{2}{3} \log(2)$.

यदि $\log (1 - x + {x^2}) = {a_1}x + {a_2}{x^2} + {a_3}{x^3} + \dots$ है,तो ${a_3} + {a_6} + {a_9} + \dots$ का मान ज्ञात कीजिए।

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