frac{1}{n^2} + frac{1}{2n^4} + frac{1}{3n^6} | vedclass

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Question

(C) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n^4} + \frac{1}{3n^6} + \dots \infty$ है। इसे $S = \frac{(1/n^2)^1}{1} + \frac{(1/n^2)^2}{2} + \frac{(

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$\log_e \left( \frac{n^2}{n^2 - 1} \right)$

Vedclass · Answer

(C) दी गई श्रेणी $S = \frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n^4} + \frac{1}{3n^6} + \dots \infty$ है। इसे $S = \frac{(1/n^2)^1}{1} + \frac{(1/n^2)^2}{2} + \frac{(1/n^2)^3}{3} + \dots$ के रूप में लिखा जा सकता है। लघुगणकीय विस्तार $-\log_e(1 - x) = x + \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} + \dots$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $x = \frac{1}{n^2}$,हमें प्राप्त होता है: $S = -\log_e(1 - \frac{1}{n^2}) = -\log_e(\frac{n^2 - 1}{n^2}) = \log_e(\frac{n^2}{n^2 - 1})$. अतः,सही विकल्प $C$ है।

$\frac{1}{n^2} + \frac{1}{2n^4} + \frac{1}{3n^6} + \dots \infty = $

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यदि $S = \sum\limits_{n = 0}^\infty \frac{(\log x)^{2n}}{(2n)!}$ है,तो $S$ =

$\frac{4}{1 \times 3} - \frac{6}{2 \times 4} + \frac{12}{5 \times 7} - \frac{14}{6 \times 8} + \dots \infty = $

$\frac{(a - 1) - \frac{(a - 1)^2}{2} + \frac{(a - 1)^3}{3} - \dots \infty}{(b - 1) - \frac{(b - 1)^2}{2} + \frac{(b - 1)^3}{3} - \dots \infty} = $

श्रेणी का योग ज्ञात कीजिए: $\log_e \frac{4}{5} + \frac{1}{4} - \frac{1}{2} \left( \frac{1}{4} \right)^2 + \frac{1}{3} \left( \frac{1}{4} \right)^3 - \dots$

श्रेणी $\frac{1}{2 \times 3} + \frac{1}{4 \times 5} + \frac{1}{6 \times 7} + \dots = $ का योग ज्ञात कीजिए।

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