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Question

(B) हम जानते हैं कि $|y| \le 1$ के लिए ${\sin ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}$ होता है।दिए गए समीकरण ${\sin ^{ - 1}}\left( {x - \frac{{{x

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(B) हम जानते हैं कि $|y| \le 1$ के लिए ${\sin ^{ - 1}}y + {\cos ^{ - 1}}y = \frac{\pi }{2}$ होता है।दिए गए समीकरण ${\sin ^{ - 1}}\left( {x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots} ight) + {\cos ^{ - 1}}\left( {{x^2} - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots} ight) = \frac{\pi }{2}$ से यह निष्कर्ष निकलता है कि दोनों प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के तर्क समान होने चाहिए।माना $y = x - \frac{{{x^2}}}{2} + \frac{{{x^3}}}{4} - \dots$। यह एक अनंत गुणोत्तर श्रेणी है जिसका प्रथम पद $a = x$ और सार्व अनुपात $r = -x/2$ है। इसका योग $\frac{x}{1 - (-x/2)} = \frac{x}{1 + x/2} = \frac{2x}{2 + x}$ है।इसी प्रकार,दूसरा व्यंजक $x^2 - \frac{{{x^4}}}{2} + \frac{{{x^6}}}{4} - \dots$ एक गुणोत्तर श्रेणी है जिसमें $a = x^2$ और $r = -x^2/2$ है,जिसका योग $\frac{x^2}{1 + x^2/2} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$ है।दोनों को बराबर रखने पर: $\frac{2x}{2 + x} = \frac{2x^2}{2 + x^2}$।चूंकि $x 
eq 0$,हम $2x$ से विभाजित कर सकते हैं: $\frac{1}{2 + x} = \frac{x}{2 + x^2}$।तिर्यक गुणा करने पर $2 + x^2 = 2x + x^2$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $2 = 2x$ अर्थात $x = 1$ प्राप्त होता है।

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