समीकरण sin^{-1} x = 2 tan^{-1} x (मुख्य मानों | vedclass

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Question

(D) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x = 2 	an^{-1} x$ है। माना $	an^{-1} x = 	heta$,तो $x = 	an 	heta$. समीकरण में मान रखने पर,$\sin^{-1}(	an 	heta)

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$3$

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(D) दिया गया समीकरण $\sin^{-1} x = 2 	an^{-1} x$ है। माना $	an^{-1} x = 	heta$,तो $x = 	an 	heta$. समीकरण में मान रखने पर,$\sin^{-1}(	an 	heta) = 2	heta$. दोनों तरफ $\sin$ लेने पर,$	an 	heta = \sin(2	heta)$. सर्वसमिका $\sin(2	heta) = \frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}$ का उपयोग करने पर,$	an 	heta = \frac{2 	an 	heta}{1 + 	an^2 	heta}$. अतः $	an 	heta (1 - \frac{2}{1 + 	an^2 	heta}) = 0$. इसलिए,$	an 	heta = 0$ या $1 + 	an^2 	heta = 2$,जिसका अर्थ है $	an^2 	heta = 1$. यदि $	an 	heta = 0$,तो $x = 0$. यदि $	an^2 	heta = 1$,तो $	an 	heta = 1$ या $	an 	heta = -1$,इसलिए $x = 1$ या $x = -1$. इन मानों को मूल समीकरण में जाँचने पर: $x = 0$ के लिए: $\sin^{-1}(0) = 0$ और $2 	an^{-1}(0) = 0$. (मान्य) $x = 1$ के लिए: $\sin^{-1}(1) = \frac{\pi}{2}$ और $2 	an^{-1}(1) = 2(\frac{\pi}{4}) = \frac{\pi}{2}$. (मान्य) $x = -1$ के लिए: $\sin^{-1}(-1) = -\frac{\pi}{2}$ और $2 	an^{-1}(-1) = 2(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\pi}{2}$. (मान्य) इस प्रकार,कुल $3$ हल प्राप्त होते हैं: $x \in \{-1, 0, 1\}$.

समीकरण $\sin^{-1} x = 2 \tan^{-1} x$ (मुख्य मानों में) के हलों की संख्या ज्ञात कीजिए।

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