यदि (tan ^{-1} x)^2+(cot ^{-1} x)^2=frac{5 pi | vedclass

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Question

(B) दिया गया है: $(	an ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ हम जानते हैं कि $	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है। माना $u

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$-1$

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(B) दिया गया है: $(	an ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ हम जानते हैं कि $	an ^{-1} x + \cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2}$ होता है। माना $u = 	an ^{-1} x$ है। तब $\cot ^{-1} x = \frac{\pi}{2} - u$ होगा। समीकरण इस प्रकार होगा: $u^2 + (\frac{\pi}{2} - u)^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$। पदों का विस्तार करने पर: $u^2 + \frac{\pi^2}{4} - \pi u + u^2 = \frac{5 \pi^2}{8}$। $2u^2 - \pi u + \frac{\pi^2}{4} - \frac{5 \pi^2}{8} = 0$। $2u^2 - \pi u - \frac{3 \pi^2}{8} = 0$। $8$ से गुणा करने पर: $16u^2 - 8\pi u - 3\pi^2 = 0$। द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(4u + \pi)(4u - 3\pi) = 0$। अतः,$u = -\frac{\pi}{4}$ या $u = \frac{3\pi}{4}$। चूंकि $	an ^{-1} x$ का परिसर $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ है,इसलिए $u = -\frac{\pi}{4}$ लेना होगा। अतः,$	an ^{-1} x = -\frac{\pi}{4} \Rightarrow x = 	an(-\frac{\pi}{4}) = -1$।

यदि $(\tan ^{-1} x)^2+(\cot ^{-1} x)^2=\frac{5 \pi^2}{8}$ है,तो $x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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