यदि f:[1, +infty) to [2, +infty) फलन f(x) = x | vedclass

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Question

(A) दिया गया है $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ge 1$ और $y \ge 2$ है। $x$ से गुणा करने पर,हमें $yx = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसे द्विघात समीक

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$\frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया है $y = f(x) = x + \frac{1}{x}$ जहाँ $x \ge 1$ और $y \ge 2$ है। $x$ से गुणा करने पर,हमें $yx = x^2 + 1$ प्राप्त होता है,जिसे द्विघात समीकरण $x^2 - yx + 1 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है। द्विघात सूत्र $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर,हमें $x = \frac{y \pm \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है। चूंकि $f$ का प्रांत $[1, +\infty)$ है,इसलिए $x \ge 1$ होना चाहिए। यदि हम ऋणात्मक चिह्न लेते हैं,तो $x = \frac{y - \sqrt{y^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है। $y \ge 2$ के लिए,यह मान $\le 1$ होता है। अतः,$x \ge 1$ की शर्त को पूरा करने के लिए,हमें धनात्मक चिह्न लेना होगा: $x = \frac{y + \sqrt{y^2 - 4}}{2}$। $y$ को $x$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें ${f^{-1}}(x) = \frac{x + \sqrt{x^2 - 4}}{2}$ प्राप्त होता है।

यदि $f:[1, +\infty) \to [2, +\infty)$ फलन $f(x) = x + \frac{1}{x}$ द्वारा परिभाषित है,तो ${f^{-1}}(x)$ का मान क्या होगा?

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