यदि $f(x) = x^2 - x + 5, x > \frac{1}{2},$ और $g(x)$ इसका प्रतिलोम फलन है,तो $g'(7)$ का मान ज्ञात कीजिए।

निम्नलिखित में से किस फलन का प्रतिलोम (inverse) परिभाषित नहीं किया जा सकता है? (जहाँ $[.] \to$ महत्तम पूर्णांक फलन)

मान लीजिए $f: R \rightarrow R$ इस प्रकार दिया गया है कि $f(x) = \tan x$ है। तो,$f^{-1}(1)$ क्या है?

यदि $f(x) = \frac{2x - 1}{x + 5}, x \neq -5$ है, तो $f^{-1}(x)$ किसके बराबर है?

मान लीजिए $f: \{1, 2, 3\} \rightarrow \{a, b, c\}$ और $g: \{a, b, c\} \rightarrow \{\text{apple, ball, cat}\}$ इस प्रकार परिभाषित हैं कि $f(1)=a, f(2)=b, f(3)=c$ और $g(a)=\text{apple}, g(b)=\text{ball}, g(c)=\text{cat}$। दर्शाइए कि $f, g$ और $g \circ f$ व्युत्क्रमणीय (invertible) हैं। $f^{-1}, g^{-1}$ और $(g \circ f)^{-1}$ ज्ञात कीजिए और दर्शाइए कि $(g \circ f)^{-1} = f^{-1} \circ g^{-1}$।

मान लीजिए कि $f: X \rightarrow Y$ एक व्युत्क्रमणीय फलन है। सिद्ध कीजिए कि $f$ का प्रतिलोम अद्वितीय है।
(संकेत: मान लीजिए कि $g_{1}$ और $g_{2}$ फलन $f$ के दो प्रतिलोम हैं। तब सभी $y \in Y$ के लिए,$f \circ g_{1}(y) = I_{Y}(y) = f \circ g_{2}(y)$। $f$ के एकैकी (one-one) गुण का उपयोग करें।)