यदि u = sin^{-1} sqrt{frac{x^2 + y^2}{x + y}} | vedclass

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Question

(C) दिया गया है $u = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.माना $f(u) = \sin u = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.माना $z = f(u) = \sqrt{\frac{x^2

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$\frac{1}{2} 	an u$

Vedclass · Answer

(C) दिया गया है $u = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.माना $f(u) = \sin u = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.माना $z = f(u) = \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$.हम $z$ की घात की जाँच करते हैं। $x$ को $tx$ और $y$ को $ty$ से प्रतिस्थापित करने पर:$z(tx, ty) = \sqrt{\frac{(tx)^2 + (ty)^2}{tx + ty}} = \sqrt{\frac{t^2(x^2 + y^2)}{t(x + y)}} = t^{1/2} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}} = t^{1/2} z$.अतः,$z$ एक $n = 1/2$ घात वाला समघातीय फलन है।यूलर प्रमेय के अनुसार,$x \frac{\partial z}{\partial x} + y \frac{\partial z}{\partial y} = n z$.चूँकि $z = \sin u$,इसलिए $x \frac{\partial}{\partial x}(\sin u) + y \frac{\partial}{\partial y}(\sin u) = \frac{1}{2} \sin u$.$x \cos u \frac{\partial u}{\partial x} + y \cos u \frac{\partial u}{\partial y} = \frac{1}{2} \sin u$.$\cos u$ से भाग देने पर,हमें $x u_x + y u_y = \frac{1}{2} \frac{\sin u}{\cos u} = \frac{1}{2} 	an u$ प्राप्त होता है।

यदि $u = \sin^{-1} \sqrt{\frac{x^2 + y^2}{x + y}}$ है,तो $x u_x + y u_y$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\begin{aligned} & f(x, y)=2(x-y)^2-x^4-y^4 \\ & \left|\left(f_{x x} f_{y y}-f_{x y}^2\right)\right|_{(0,0)} \end{aligned}$

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